你真的会玩翻身陀螺吗?

2016-05-26

       从20世纪50年代开始,翻身陀螺这一精巧有趣的小玩具便引起了诸多学者的关注。早期的研究主要是从物理上定性分析,大多数学者均认为陀螺翻身是由摩擦引起的。1963年,Contensou在线性摩擦假设下对翻身陀螺进行了严格的动力学分析,成功解释了陀螺翻身的原理。杨海兴、成功在1993年应用部分变量稳定性定理导出了翻身陀螺解析形式的稳定性判据。还有学者利用数值仿真方法研究了陀螺翻身的条件。2007年,刘延柱对翻身陀螺的发明过程及研究历史进行了梳理,并从物理概念出发简明清晰地分析了陀螺翻身的力学原理。作者从小就喜欢玩各式各样的陀螺,其中翻身陀螺最为独特,如图 1,它的两端是两个不同半径的大小球面,陀螺重心与两个球面的球心都不重合且在大球球心的下方,静止时大球在下,短柄朝上,与不倒翁类似,但旋转起来之后,陀螺会奇迹般地翻身,变为短柄朝下、大球朝上的旋转。在玩翻身陀螺的过程中,作者产生了很多疑问,其中一些疑问通过阅读上述文献得到了解释,下面我们尝试解答剩下另外几个疑问。

问题1. 翻身过程中角速度怎么变?会不会翻过头?

       陀螺翻身是因为有摩擦力的作用,这是学术界所公认的。当陀螺进动速度较大时,摩擦力对陀螺质心的力矩会使陀螺与垂直方向的夹角变大,进而出现翻身现象。那么陀螺翻身过程中的角速度会怎么变呢?会不会翻过头呢?

图 1翻身陀螺正立状态

       如图 1为陀螺正立时的状态,建立以陀螺质心Oc为原点的惯性坐标系(Oc-XYZ),ijk分别为XYZ轴的单位矢量。以质心Oc为原点建立陀螺主轴坐标系(Oc-xyz),z轴为陀螺对称轴,θz轴与竖直方向的夹角。由于陀螺关于z轴对称,设其绕主轴xyz的主转动惯量分别为AAC。则陀螺进动时所受摩擦力矩的水平分量为

    

其中μ为动摩擦系数,FN为地面支撑力的大小,v为陀螺与地面接触点相对地面的滑动速度,R为大球半径,a为质心与大球圆心的距离。

      摩擦力矩引起章动角θ变化,产生一个附加动量矩,该动量矩以进动角速度Ω绕垂直轴旋转会引起一个附加陀螺力矩。根据文献的推导,该附加陀螺力矩为

 

ΔMgMf相平衡,大小相等,方向相反。由此可以得出陀螺翻身的角速度大小

  

 

其中,滑动速度v的大小为

    

Ωcr为进动角速度的临界值,ε = ( C A ) / C,由于CA接近,所以ε为小量。只有当陀螺进动角速度Ω大于临界值Ωcr时,v的方向才为正, 大于0,陀螺作“翻身”运动。随着章动角θ增大, 也会增大, 陀螺“翻身”加快,直至完全倒立。

        至此,有人可能会担心:陀螺会不会翻身太快,翻过头了,又翻回去?其实,这是多虑了,当陀螺完全倒立后,它与地面的接触方式发生改变,陀螺不再遵循上述运动规律,而是属于刚体定点运动的Lagrange情况,即倒立陀螺作进动。也就是说,陀螺到达倒立状态时有些“剩余”速度,相当于在普通陀螺高速旋转时被横推一下,陀螺只是从直立转动状态变成进动。

问题2. 进动与自转的方向“相反”?

       当陀螺在地上旋转受到干扰时,会发生进动而不倒下,这便是陀螺的进动性。大多数普通陀螺在地面上进动时,俯视陀螺,其进动方向与自转方向是一致的,均为顺时针或者逆时针旋转,如图 2(a)所示。而翻身陀螺却不一样,当俯视翻身陀螺的进动时,其进动方向与自转方向是“相反”的,如图 2(b)。

(a)普通陀螺的进动                                                                    (b)翻身陀螺的进动

图 2普通陀螺与翻身陀螺的进动现象比较

        对此,我们可以从物理概念上作如下分析。在图 2(a)中,假定普通陀螺的自转方向是逆时针,根据陀螺近似理论,动量矩L的方向可认为与自转角速度ω1方向一样,当陀螺受扰倾斜时,重力G与法向约束力FN构成力偶,其力偶矩MG垂直纸面向外,使得陀螺发生进动。根据莱查定理,力偶矩方向与动量矩矢端的速度方向一致,动量矩L矢端的运动轨迹如图 2(a)所示,沿逆时针方向旋转,即陀螺的进动方向也是逆时针。在图 2(b)中,假定翻身陀螺的自转方向是顺时针,动量矩L的方向同样认为与自转角速度ω1方向相同,当其受扰倾斜时,重力G与法向约束力FN构成力偶,其力偶矩MG垂直纸面向里,这一点与普通陀螺恰恰相反,其动量矩L矢端的运动轨迹如图 2(b)所示,沿逆时针方向旋转,可得翻身陀螺的进动方向是逆时针,这就解释了翻身陀螺的进动方向与自转方向为何是“相反”的。

       这种有趣的现象,在力学上其实也有严格的证明。当主转动惯量A < C时,可以证明陀螺的进动角速度与自转角速度之间为钝角,也就是我们所讨论的俯视时进动与自转方向“相反”,而翻身陀螺刚好符合这个条件。

问题3. 自转越快越易翻身吗?

       当旋转普通陀螺时,可以发现旋转得越快,陀螺就越稳定,这也正是陀螺定轴性的体现,因此,很多人在玩陀螺时,就会下意识地用力旋转,使陀螺快速转动。推及到翻身陀螺,大家同样也会尽可能地用力旋转,以期使陀螺翻身。然而事实却并非如此,笔者大量实验的结果表明,翻身陀螺并不是自转的越快就越易翻身,而是在自转角速度小到一定程度时才会翻身,即使初始时自转角速度很大,翻身陀螺也会正立旋转一段时间,直到自转角速度降下来之后才会翻身。

       对于这种现象,我们可以用陀螺近似理论进行分析。在陀螺近似理论中,通过简单的推导,我们可以得出陀螺的进动角速度为

其中,ω1表示自转角速度的大小。根据上文的分析,欲使陀螺翻身,Ω则必须大于临界值Ωcr,因而可以得出

 

即当陀螺的自转角速度小于某值时,陀螺才会翻身,这一结果与翻身陀螺的旋转实验吻合。

结束语

       翻身陀螺是一件小的玩具,关于它的趣味问题却不少,除了陀螺翻身以及本文发现的趣味现象以外,仍有许多值得思考的地方。本文研究的翻身陀螺是翻转180o的情况,在生活中也存在一些类似现象,但是只翻转90o,例如,扁平触地的图钉、纽扣或围棋子,在特定转速下可以自己立起来,水平旋转的熟鸡蛋也可能自己立起来。地球是近似的椭球体,运动与翻身陀螺有类似之处,有学者根据地质勘探的结果推测地球曾经发生过90o翻转。这些翻转现象,与翻身陀螺的机理有何异同呢?这很值得深入研究。另外,还有一些与前述不同的趣味现象,比如在立起过程中鸡蛋会短暂跳起,鸡蛋在旋转的过程中可能形成两种稳定状态:以较细的一头直立旋转,或者以较粗的一头直立旋转。如果能研究清楚这些奇怪而有趣现象的力学机理,那才算是真的会玩呐。